solució al problema 10

El millor resultat possible que pot obtenir un jugador que no guanyi cap partida és una mitja de 24 punts per partida (o sigui, empata totes les partides).
Imaginen que només hi participen dues persones en aquesta lliga. Si una empata sempre, aleshores l'altre necessariament també. Per tant, en certa forma podriem dir que quedarien empatats al primer lloc, i podriem considerar que sense guanyar cap partida han quedat primers tots dos. Això mateix (que tots els jugadors empatin totes les partides i tots quedin empatats en "primera" (o última) posició) es podria donar per a lligues amb qualsevol nombre de jugadors. Per tant, en cert sentit, podriem dir que la resposta a la pregunta és sí: un jugador que no guanyi cap partida pot quedar primer.

Imaginem però, que a la lliga hi participen tres persones i que només un participant empata sempre.
En aquesta lliga hi participen l'Spiderman, en Tarzan i la Chenoa. Si l'Spiderman és el jugador que sempre empata passaria això:

Spiderman-Chenoa: 24 a 24
Spiderman-Tarzan: 24 a 24
Tarzan-Chenoa: >24 a <24

I la classificació seria
1. Tarzan >48 punts
2. Spiderman 48 punts
3. Chenoa < 48 punts

Per tant, sense guanyar cap partida, a lo màxim que pot aspirar un jugador en una lliga de tres persones és a quedar segon.

Imaginem que hi ha 4 persones a la lliga, i vegem què és lo millor que li pot passar en aquest cas.

Spiderman-Chenoa: 24 a 24
Spiderman-Tarzan: 24 a 24
Tarzan-Chenoa: 25 a 23
Makinavaja-Spiderman: 24 a 24
Makinavaja-Tarzan: 23 a 25
Makinavaja-Chenoa: 23 a 25

1. Tarzan 74
2. Spiderman, Chenoa 72
3. Makinavaja 70

també podria quedar segon en solitari si:

Spiderman-Chenoa: 24 a 24
Spiderman-Tarzan: 24 a 24
Tarzan-Chenoa: 26 a 22
Makinavaja-Spiderman: 24 a 24
Makinavaja-Tarzan: 23 a 25
Makinavaja-Chenoa: 23 a 25

1. Tarzan 75
2. Spiderman 72
3. Chenoa 71
4. Makinavaja 70

I si hi hagués un empat circular entre Tarzan, Chenoa i Makinavaja
Spiderman-Chenoa: 24 a 24
Spiderman-Tarzan: 24 a 24
Tarzan-Chenoa: 25 a 23
Makinavaja-Spiderman: 24 a 24
Makinavaja-Tarzan: 25 a 23
Makinavaja-Chenoa: 23 a 25
aleshores obtindrien tots tres 72 punts i estariem en un cas equivalent al de que tots 4 empatin totes les partides i tinguin els 4 jugadors medalla d'or.

Però primer en solitari no hi pot quedar en cap cas. En el millor dels casos pot quedar segon en solitari.

Ara afegim un cinquè participant, a veure si el jugador que mai guanya pot seguir quedant segon.

Spiderman-Chenoa: 24 a 24
Spiderman-Tarzan: 24 a 24
Tarzan-Chenoa: 25 a 23
Makinavaja-Spiderman: 24 a 24
Makinavaja-Tarzan: 23 a 25
Makinavaja-Chenoa: 23 a 25
Terminator-Spiderman: 24 a 24
Terminator-Tarzan: 23 a 25
Terminator-Chenoa: 25 a 23
Terminator-Makinavaja: 23 a 25

1. Tarzan 99
2. Spiderman 96
3. Chenoa, Makinavaja, Terminator 95

En aquest cas, pot quedar segon en solitari i 3 jugadors empaten al tercer lloc. Hi ha altres possibilitats en que pot quedar segon en solitari, per exemple aquesta:

Spiderman-Chenoa: 24 a 24
Spiderman-Tarzan: 24 a 24
Tarzan-Chenoa: 25 a 23
Makinavaja-Spiderman: 24 a 24
Makinavaja-Tarzan: 22 a 26
Makinavaja-Chenoa: 23 a 25
Terminator-Spiderman: 24 a 24
Terminator-Tarzan: 21 a 27
Terminator-Chenoa: 25 a 23
Terminator-Makinavaja: 23 a 25

1. Tarzan 102
2. Spiderman 96
3. Chenoa 95
4. Makinavaja 94
5. Terminator 93

o també hi ha escenaris en que queda empatat al segon lloc etc, però en cap cas pot quedar primer.

Jo crec que es pot concloure que per qualsevol nombre de jugadors (sis, set, vuit.... cent....mil....) , un jugador que no guanyi cap partida en una lliga pot quedar segon. Sorprenent oi?

Doncs encara més sorprenent: un jugador que PERDI totes les partides també pot quedar segon en una lliga de qualsevol nombre de jugadors!

Aquí en teniu un exemple amb una lliga de 5 jugadors. L'Spiderman perd totes les partides i queda en segona posició!

Spiderman-Chenoa: 23 a 25
Spiderman-Tarzan: 23 a 25
Tarzan-Chenoa: 30 a 18
Makinavaja-Spiderman: 25 a 23
Makinavaja-Tarzan: 16 a 32
Makinavaja-Chenoa: 23 a 25
Terminator-Spiderman: 25 a 23
Terminator-Tarzan: 17 a 31
Terminator-Chenoa: 25 a 23
Terminator-Makinavaja: 23 a 25

1. Tarzan 118
2. Spiderman 92
3. Chenoa 91
4. Terminator 90
5. Makinavaja 89

Salva

Una manera de veure-ho és la següent:

Si anomenem "puntuació" d'un jugador en una partida a la diferència entre les llavors collides i les collides pel contrincant, i "puntuació final" d'un jugador a la suma de puntuacions del jugador, resulta que la suma de puntuacions finals de tots els jugadors és zero.

P.ex., si en una partida jo guanyo de 3, obtinc una puntuació de +3 i l'altre jugador de -3. La suma de les dues puntuacions és zero. Si sumem les de totes les partides també serà zero.

De manera que si un jugador no guanya cap partida, només pot optar a una puntuació màxima de 0 (si empata totes). A no ser que tothom tingui puntuació 0, algú tindrà puntuació negativa, i per tant algú n'ha de tenir positiva.

En canvi, es pot quedar segon perdent totes les partides, sigui quin sigui el nombre de jugadors (els noms són ficticis):

Trevor: 200 Viktor: -6 Salva: -12 Àlex: -182

Àlex